Выберите такие множества а и в что а является подмножеством в
Калькулятор определения подмножества из множества
Подмножество множества A — это такой набор B, все члены которого принадлежат A. Существует знакомое всем с детства множество натуральных чисел N, а наборы четных E и нечетных O элементов являются подмножествами N.
Теория множеств
Проблема отображения бесконечности действительных чисел волновала математиков с самой древности. Натуральные числа люди использовали при счете, рациональные, то есть дроби – при операциях с частями целого, а действительные числа нашли свое применение в измерениях. Первым действительным и иррациональным числом, о котором узнали древние математики, было число, отображающее длину диагонали квадрата. Затем появилось Пи (отношение диаметра круга к его окружности), позднее и другие числа.
При измерении длины стороны фигуры или ее диагонали мы можем постоянно повышать точность измерений и получать все новые и новые числа. Например, диагональ единичного квадрата равна корню из двух. Мы можем выразить ее длину как 1,4 или 1,41 или 1,4142 или 1,41421356237. И это все разные действительные числа. Можно ли создать список всех действительных чисел от 0 до 1? Нет, так как каждый раз будет находиться еще одно число, отличное от всех, представленных в этом списке.
Именно с этой проблемой работал Георг Кантор, который создал наивную теорию множеств. Наивной его теория стала в результате образования нескольких логических парадоксов, которые были успешно решены при трансформации канторовской теории в аксиоматическую теорию множеств.
Подмножество
Давайте начнем с самого простого – множество натуральных чисел. Это бесконечная последовательность целых положительных чисел, которые мы используем при счете предметов. В отличие от измерений, мы не можем повышать точность счета. Если мы видим 5 яблок, то точнее мы выразить их количество никак не сможем. Кроме того, мы без проблем можем перечислить все натуральные числа в диапазоне от 1 до 10. Все натуральные числа могут быть как четными, так и нечетными, следовательно, натуральное множество содержит в себе четное и нечетное подмножества.
Целые числа – это продолжение натуральной последовательности в отрицательную область. К целым относится ноль, все натуральные числа, а также противоположные натуральным, то есть со знаком минус. Очевидно, что натуральное множество является подмножеством целых чисел.
Рациональное множество – это набор всех дробных чисел, которые возможно представить в виде обыкновенной дроби. В виде дроби мы можем выразить 0,25 – 1/4, 0,5 – 1/2, 1 – 1/1. В качестве дроби легко записать любое целое или натуральное число, например: 5/5 или 50/50. Таким образом, рациональное множество содержит два подмножества – наборы целых и натуральных чисел.
Действительное множество – это все числа на числовой оси. К ним относятся натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, которые формируют соответствующие подмножества во множестве действительных чисел. Множество действительных чисел – это самое мощное множество, которое стремится в бесконечность. Кроме того, пустое множество, которое не содержит ни одного элемента, является подмножеством любого выбранного набора чисел. Но и это еще не все. Каждое множество является подмножеством самого себя.
Мы перечислили глобальные примеры подмножеств, однако на практике нам может потребовать определить является ли один набор чисел подмножеством другого набора? К примеру, если у нас есть пара значений <3, 11>, то является ли она подмножеством набора <1, 3, 5, 7, 11, 13>? Очевидно, что ответ положительный, так как и 3, и 11 встречаются во множестве <1, 3, 5, 7, 11, 13>. Однако это верно только для множеств с неразличимыми элементами, то есть для обычного набора чисел. Если же важен порядковый номер элементов множества, то результат противоположный и <3, 11>не является подмножеством <1, 3, 5, 7, 11, 13>.
Наш калькулятор определения подмножеств позволяет выяснить, является набор чисел B подмножеством набора A. Программа использует алгоритм для надежно различимых элементов множества, для которых важен порядок расположения членов.
Пример определения подмножества
Выше мы выяснили, что четное множество – это подмножество натурального ряда. Для неразличимых элементов объект B = <2, 4, 6>является подмножеством набора A = <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Однако представим, что это база данных, и n-ному элементу множества соответствует свое значение. Выходит, что первый член объекта B имеет значение 2, а первый элемент набора A равен 1. Второй элемент множества B равен 4, а второй элемент объекта A = 2. По такой логике это совершенно разные объекты, следовательно, множество B не является подмножеством набора A.
Заключение
Множество – это набор математических объектов, каждый из которых обладает определенным свойством. Каждое множество имеет минимум два подмножества: пустое и свое собственное. Для поиска других подмножеств используйте наш калькулятор, который позволяет определить принадлежность одного набора чисел к другому.
Множество. Элементы множества. Способы задания множества. Пустое множество. Подмножество.Операции над множествами.
Тема урока: Множе ство. Э лементы множества . Способы задания множества. Пустое множество. Подмножество. Операции над множествами.
1.О рганизационный момент
3. Изучение нового материала
1.О рганизационный момент
Вступительное слово учителя
3. Изучение нового материала
Множество возникает путем объединения
отдельных предметов в единое целое.
Оно есть множественность мыслимая как единое.
Множество представляет собой объединение некоторых объектов или предметов в единую совокупность по каким-либо общим свойствам или законам. Обозначают А,В,Р,…
Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.
Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.
Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.
N – множество натуральных чисел,
Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А.
Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Обозначают Ø
При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов.
Перечислите множество фруктов
Перечислите множество овощей
Перечислите множество школьных предметов учеников 6 класса
Начертите три круга изображающие круги Эйлера. В самом маленьком круге напишите, те знания и умения которые вы приобрели в дошкольном возрасте (множества А), во втором круге – чем пополнились ваши знания в начальной школе (множества В) и в самом большом круге чему вы научились в 5-6 классах (множество С). В каком отношении находятся эти множества? (ответ А подмножества множества В и в – подмножества множества С)
1.Дано множество <11; 34; 60; 16; 90>. Принадлежит ли этому множеству число, которое получится при сложении 60 и 30, при вычитании 9 из 17, при делении 72 на 8, при вычитании И из 48, при умножении 20 на 3? [да; нет; нет; да; да].
2.По какому признаку составлено множество <зима, весна, лето, осень>, <11. 13, 15, 17, 19>? [времена года, [нечетные числа большие 10 и меньшие 20].
3.По какому признаку составлено множество <6,3,5,2,4>? [Множество чисел, больших 1 и меньших 7. Является ли это мно жество подмножеством натуральных чисел? [Да].
4.Назовите множество дней одной недели; множество месяцев одного года. Является ли множество дней одной недели подмно жеством множества дней одного месяца? [Да].
5.Даны следующие множества:
Перечислить буквы, обозначающие множества, так, чтобы каждая буква (кроме последней) обозначала подмножество следующего множества.
[ВА, СА, ДА, ЕА, ДС, ЕВ, ДЕ].
Указать, какие из данных множеств являются подмножествами других данных множеств.
7.Назовите множество натуральных чисел, расположенных между числами 21 и 22.
Часть 2. Решим ЗАДАЧУ № 1.
Однако один из любителей математики сказал: «Что ты, у нас есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу, ни исто рию. Я даже могу сказать, сколько их». Как он узнал?»
М — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся мате матикой;
JI — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся лите ратурой;
Из условия задачи следует, что все условия пересекаются.
Для составления схемы воспользуемся «кругами Эйлера».
Пересечение множеств М, JI и Д содержит 6 элементов (МЛИ|=6 это следует из условия задачи).
Пересечение множеств М и Л содержит 32 элемента (|MЛ|=32), но 6 элементов принадлежат множеству И (смотри рисунок).
Можно определить, сколько человек записать в кружки по мате матике и литературе (32-6=26 человек).
Пересечение множеств М и И содержит 11 элемента (|МИ|=11), но 6 элементов принадлежат множеству JI; следовательно в кружки по математике и истории записалось 11-6=5 человек.
ЛИ содержит 8 человек (|ЛИ|=8), но 6 элементов принадлежат множеству М, значит в кружки по литературе и истории записалось 8-6=2 человека.
Теперь легко определить сколько учащихся посещают только один кружок:
всего записалось — 14+6+9+26+5+6+2=68 человек;
По условию задачи все три множества пересекаются. Число эле ментов пересечения трёх множеств обозначим через X.
Пересечение множеств Б и П (БП) содержит 15 человек (|БП| = 15), но X человек принадлежат множеству Л. Можно определить, сколько человек занимаются баскетболом и плава нием: 15-Х (чел.).
Пересечение множеств JI и П (ЛП) содержит 18 человек (|ЛП|=18), но X человек принадлежат множеству Б. Можно определить, сколько человек занимаются лыжами и плаванием: 18-Х (чел.).
Пересечение множеств Б и JI (БЛ) содержит 16 человек (|БЛ|= 16), но X человек принадлежат множеству П. Можно определить, сколько человек занимаются баскетболом и лыжами: 16-Х (чел.).
Теперь легко определить, сколько учащихся занимаются только баскетболом:
Сколько учащихся занимаются только плаванием:
Сколько учащихся занимаются только лыжами:
По условию задачи известно, что в классе 40 человек и один чело век освобожден от занятий по физкультуре. Следовательно, можно составить уравнение:
Отсюда, Х= 10, т. е. 10 человек одновременно занимаются баскет болом, плаванием и лыжами.
26-(31-10)=5 (чел.) занимаются только баскетболом.
3 (чел.) занимаются только лыжами.
25-(33-10)=2 (чел.) занимаются только плаванием.
Из 40 учащихся класса выписывают газету, 21 – журнал, 15 учащихся – и газету и журнал. Сколько учащихся не выписывают ни журнала, ни газеты?
Ответ: 2 человека не выписывают ни газеты, ни журнала.
В классе 35 учеников. 20 человек посещают математический кружок, 11 – биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекается математикой?
Известно, что всего в кружках занимаются 25 человек. Следо вательно, можно составить уравнение:
Ответ: 6 биологов увлекаются математикой.
Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 – испанский, 75 – немецкий. Все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают только два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек знают три иностранных языка?
Ответ: 70 человек знают три иностранных языка.
Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В ⊂ А)
Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами или диаграммами Эйлера-Венна.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Пересечение множеств А и В обозначают А∩ В. Таким образом, по определению, А ∩ В = < х | х ∈ А и х ∈ В>.
Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 3).
Для пересечения множеств выполняются следующие свойства.
1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∩ В = В ∩ А.
2 ) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С).
3) А ∩ ∅ = ∅ (пустое множество является поглощающим элементом).
4) А ∩ U = А (универсальное множество является нейтральным элементом).
5) Если В ⊂ А, то А∩В = В
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают А ∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = < х | х ∈ А или х ∈ В>.
Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область
Для объединения множеств выполняются следующие свойства.
1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А.
2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С).
3) А ∪ ∅ = А (пустое множество является нейтральным элементом).
4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом).
5) Если В ⊂ А, то А ∪ В = В
Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами:
(А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).
П р и м е р 1. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.
Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = < м, а, т, е, и, к >, В = < с, т, е, р, о, м, и, я >. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = < м, т, е, и >. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = < м, а, т, е, и, к, с, р, о, я >.
П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?
Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А \ В. Таким образом, по определению разности А \ В = < х | х ∈ А и х ∉ В>.
Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то разность данных множеств является заштрихованная область (рис. 5).
Определение. Пусть В является подмножеством множества А. В этом случае разность множеств А и В называют дополнением подмножества В до множества А и обозначают В’ А. Дополнение можно изобразить как показано на рис. 5. Если В – подмножество универсального множества U, то дополнение подмножества В до U обозначают В’.
Например, если В – множество однозначных натуральных чисел, то В’– множество неоднозначных натуральных чисел, если С – множество равнобедренных треугольников, то С’ – множество треугольников, у которых все стороны имеют разную длину.
Разность множеств и дополнение к подмножеству обладают рядом свойств.
1) (А \ В) \ С = (А \ С) \ В.
2) (А ∪ В) \ С = (А \ С) ∪ (В \ С).
3) (А \ В) ∩ С = (А ∩С) \ (В ∩ С).
Четвертое свойство формулируется так: дополнение к объединению двух множеств равно пересечению дополнений к этим множествам. Пятое свойство формулируется аналогично.
П р и м е р 1. А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 5. Задать описанием характеристического свойства множество А \ В и назвать три числа, принадлежащих этому множеству.
Р е ш е н и е. По определению разность данных множеств состоит из натуральных чисел, кратных 3 и не кратных 5. Поэтому разности множеств А и В принадлежат числа 9, 24, 33.
Задания для самостоятельной работы по теме :
Приведите примеры множеств А, В, С, если отношения между ними таковы:
2. Образуйте все подмножества множества букв в слове «крот». Сколько подмножеств получилось?
5. Имеется множество блоков, различающихся по цвету (красные, желтые, зеленые), форме (круглые, треугольные, прямоугольные), размеру (большие, маленькие). На сколько классов разбивается множество, если в нем выделены подмножества: А – круглые блоки, В – зеленые блоки, С – маленькие блоки? Сделайте диаграмму Эйлера и охарактеризуйте каждый класс.
6. Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø б)А U В=А
7. Пусть Х= < x 
N/ 1 
x 15>. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества:
А – подмножество всех четных чисел;
В – подмножество всех нечетных чисел;
С – подмножество всех чисел, кратных 3;
D – подмножество всех чисел, являющихся квадратами;
E – подмножество всех простых чисел.
В каких отношениях они находятся?
Мне больше всего удалось…
Для меня было открытием то, что …
За что ты можешь себя похвалить?
Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
Мои достижения на уроке.
Однако один из любителей математики сказал: «Что ты, у нас есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу, ни исто рию. Я даже могу сказать, сколько их». Как он узнал?»
Из 40 учащихся класса выписывают газету, 21 – журнал, 15 учащихся – и газету и журнал. Сколько учащихся не выписывают ни журнала, ни газеты?
В классе 35 учеников. 20 человек посещают математический кружок, 11 – биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекается математикой?
Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 – испанский, 75 – немецкий. Все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают только два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек знают три иностранных языка?
Как найти все подмножества множеств
На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.
Пример 1. Дано множество А = <а, с, р, о>. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:
Несобственные: <а, с, р, о>, Ø.
Всего: 16 подмножеств.
Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.
• пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
• любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
• У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.
Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.
Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.
1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.
Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.
В примере 1 множество А = состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.
Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.
Калькулятор множества всех подмножеств.
Множество и его элементы. Подмножества
Понятие множества
Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».
Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».
Приведём примеры множеств:
Множество людей в салоне самолёта
Множество деревьев в парке
Множество планет Солнечной системы
Множество электронов в атоме
Множество натуральных чисел
Множество «синих-синих презелёных красных шаров»
Конечное, бесконечное и пустое множества
Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.
С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.
Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.
Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.
Помидоры на грядке
Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)
Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]
Полосатые летающие слоны
Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости
Способы задания множеств
1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.
Множество всех континентов Земли:
Множество букв слова «математика»:
Множество натуральных чисел меньших 5:
2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.
D =
3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)
Подмножества
Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.
Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.
Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.
Примеры
Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:
Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:
Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:
Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения
(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:
Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:
а) Множество всех натуральных чисел меньше 10
б) Множество всех действительных чисел, кроме 0
в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1
Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:
Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:
Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества: