Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 7
1.Движение и его свойства
Пусть на плоскости задана геометрическая фигура. Если каждую точку данной фигуры переместить на некоторое расстояние, так чтобы расстояние между точками сохранилось, то мы получим новую фигуру, преобразованную из данной. (Рис.1) Таким образом, преобразование одной фигуры в другую так, что расстояние между точками остается неизменным, называется движением.
Например, при перемещении фигуры М на некоторое расстояние получим фигуру М1. Все точки фигуры М передут в точки фигуры М1. Расстояние между точками сохранится АВ = А1В1
Свойства движения
Рис.1 Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки
При преобразовании фигур каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно точки симметрии О. Такое преобразование называется преобразованием симметрии, а фигуры называются симметричными относительно точки О.
Если при преобразовании фигура переходит в саму себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется точкой симметрии. Например, параллелограмм, окружность, эллипс, ромб, квадрат.
Преобразование фигур относительно точки симметрии является движением.
Рис.2 Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой
Пусть дана прямая а. (Рис.3). Если взять произвольную точку, например точку Е, провести перпендикуляр к прямой а и на продолжении этого перпендикуляра отложить отрезок ВE’, равный отрезку ЕВ, то точка Е’ будет симметрична относительно прямой а. Если точка лежит на прямой а, то она симметрична сама себе.
При преобразовании фигуры в фигуру каждая точка переходит в точку С’, симметричную относительно прямой а. Такое преобразование называется преобразование симметрии относительно прямой.
Преобразование симметрии относительно прямой также является движением, т.к. согласно определению движения расстояние между точками фигуры при смещении относительно прямой не изменяется.
Рис.3 Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства
Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задана фигура S. Каждая точка фигуры параллельным переносом переходит в точку А’ на одно и тоже расстояние. Тогда можно дать следующее определение: преобразование фигуры S в фигуру S’, в котором каждая точка фигуры с координатами x и y смещается в точку с координатами x+a и y+b, где a и b постоянные числа, называется параллельным переносом.
Параллельный перенос есть движение, т.к. все точки смещаются на одно и тоже расстояние.
Таким образом, для получения координат новой фигуры, параллельный перенос задается следующими формулами:
Свойства параллельного переноса
Рис.4 Параллельный перенос и его свойства.
5.Пример 1
Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Доказательство:
Пусть дан параллелограмм АВA’В’ (Рис.5). По свойству параллелограмма, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, треугольники АОB’ и ВОА’ равны по двум сторонам и углу между ними. АО = ОА’, ВО = ОB’, углы при вершине О равны как вертикальные. А отсюда следует, что точки A’ и B’ симметричны точкам А и В относительно точки О. Т.е. получается, что вершины параллелограмма центрально симметричны относительно точки О.
Теперь на стороне АВ’ возьмем произвольную точку Е и проведем через нее прямую, проходящую через точку О. Треугольники ЕОВ’ и BOE’ равны по второму признаку равенства треугольников: по стороне и прилегающим к ней углам. BO = OB’ и углы при вершинах О и В,B’ равны (при вершине О как вертикальные, при вершинах B,B’ как внутренние накрест лежащие). Следовательно, отрезки ЕО и ОE’ равны, т.е. ЕО = ОE’.
Рис.5 Задача. Докажите, что у параллелограмма.
Отсюда можно сделать вывод, что каждая точка Х параллелограмма переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О. Т.е. преобразование симметрии относительно точки О переводит параллелограмм в сам себя, поэтому он называется центрально-симметричной фигурой, а точка О является его центром симметрии.
Пример 2
Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, которая проведена к основанию, является его осью симметрии.
Доказательство:
Пусть АВА’ данный равнобедренный треугольник с основанием АА’, АВ = ВA’ (Рис.6). Медиана ОВ лежит на прямой а. Так как медиана делит противолежащую сторону пополам, то треугольники АВО и A’BO равны по трем сторонам (АВ = ВA’, АО = ОA’, сторона ОВ у них общая). Следовательно, углы при вершине О равны 90°, как равные смежные углы. А углы при вершине В равны, так как треугольники равны. Следовательно, вершина треугольника А симметрична вершине A’ относительно прямой а, так как основание АA’ перпендикулярно прямой а. Так же как и для любой точки, принадлежащей отрезку АО, найдется симметричная ей точка на отрезке ОА’ относительно прямой а.
Точка В лежит на прямой а, поэтому она симметрична сама себе относительно прямой а.
Теперь проведем произвольную прямую b, параллельную основанию АА’. Она пересечет боковые стороны треугольника в точках ЕЕ’. Рассмотрим треугольники ЕВО’ и BO’E’. Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам: сторона BO’ у них общая, углы при вершинах В и О’ равны). Следовательно, ЕО’ = O’E’.
Рис.6 Задача. Докажите, что прямая, содержащая медиану.
Отсюда следует, что любая точка Х’ треугольника ВОА’ симметрична точке Х треугольника АВО относительно прямой а, что является преобразованием симметрии относительно прямой. А если преобразование симметрии относительно прямой а переводит треугольник АВА’ сам в себя, то прямая а является его осью симметрии.
Пример 3
Решение:
По условию задачи параллельный перенос задается формулами:
Следовательно, точка А переходит в точку А’ с координатами:
Докажите, что если у двух ромбов равны диагонали, то они равны.
Доказательство:
Подвергнем ромб ABCD преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной отрезку СС’ и проходящей через его середину (Рис.8). Если два ромба не располагаются друг под другом, то нужного расположения можно добиться при помощи параллельного переноса. (Напомним, что параллельный перенос также является движением со всеми вытекающими из этого свойствами.) В результате получим ромб A’B’C’D’. Если точки А и А’ различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой b, перпндикулярной отрезку A’A» и проходящей через его середину и точку С’. Таким образом, отрезок A’C’ перейдет в отрезок A»C». И в результате получим ромб A»B»’C»D»’.
Рис.8 Задача. Докажите, что если у двух ромбов.
Отсюда следует, что отрезок B»’D»’ перпендикулярен отрезку А»C» и проходит через его середину, а точки B»’ и D»’ совпадают с точками B» и D», так как по условию задачи диагонали двух ромбов равны. Таким образом, получается, что диагонали ромба АС и BD полностью совпадут с диагоналями A»C» и B»D». А из этого следует, что и вершины ромба ABCD полностью совпадут с вершинами ромба A»B»C»D», так как они находятся на концах диагоналей. Следовательно, ромб ABCD полностью перейдет в ромб A»B»C»D».
Пример 5
Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2;2) переходит в точку A'(3;-2), а точка В (-2;1) переходит в точку В'(-2;-3).
Решение:
Параллельный перенос задается формулами:
где а и b одни и те же числа. Отсюда следует, что
Отсюда, координаты точки В» будут:
т.е. B»(-1;-3), а точка B’ имеет координаты (-2;-3).
Следовательно, такого параллельного переноса не существует. (Рис.9)
1. Какое преобразование фигуры называется движением? 2. Докажите, что точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. 3. Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении? 4. Докажите, что при движении сохраняются углы. 5. Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки. 6. Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки? 7. Какая фигура называется центрально-симметричной? 8. Что такое центр симметрии фигуры? Приведите пример центрально-симметричной фигуры. 9. Докажите, что симметрия относительно точки есть движение. 10. Какие точки называются симметричными относительно данной прямой? 11. Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой? 12. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? 13. Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример. 14. Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение. 15. Какое движение называется поворотом? 16. Что такое параллельный перенос? 17. Какие вы знаете свойства параллельного переноса? 18. Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку. 19. Какие полупрямые называются одинаково направленными; противоположно направленными? 20. Докажите, что если полупрямые а и Ъ одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены. 21. Какие фигуры называются равными? 22. Какие геометрические фигуры и их свойства можно увидеть на фотографиях (с. 125—133)? Приведите свои примеры из окружающего мира.
Во что переходят прямые полупрямые отрезки при движении
Вопрос 11. Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой? Ответ. Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая еë точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой g (рис. 192).
Вопрос 12. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? Ответ. Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.
Вопрос 13. Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример. Ответ.Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис.193). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 194).
Вопрос 14. Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение. Ответ. Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением. Доказательство.Примем данную прямую за ось y декартовой системы координат (рис. 195). Пусть произвольная точка A (x; y) фигуры F переходит в точку A’ (x’; y’) фигуры F’. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A’ равные ординаты, а абсцисы отличаются знаком: x’ = —x.
Вопрос 15. Какое движение называется поворотом? Ответ. Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (рис. 196).
Вопрос 16. Что такое параллельный перенос? Ответ. Параллельный перенос есть движение.
Вопрос 17. Какие вы знаете свойства параллельного переноса? Ответ. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).
Докажем единственность параллельного переноса, переводящего точку A в точку A’. Пусть X — произвольная точка фигуры и X’ — точка,в которую она переходит при параллельном переносе (рис. 202). Как мы знаем, отрезки XA’ и AX’ имеют общую середину O. Задание точки X однозначно определяет точку O — середину отрезка A’X. А точки A и O однозначно определяют точку X’, так как точка O является серединой отрезка AX’. Однозначность в определении точки X’ и означает единственность параллельного переноса. Теорема доказана.
Вопрос 19. Какие полупрямые называются одинаково направленными? Ответ. Две полупрямые называются одинаково направленными, или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом. То есть существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.
Вопрос 20. Докажите, что если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые b и c одинаково направлены, то полупрямые a и c тоже одинаково направлены. Ответ. Если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые b и c одинаково направлены, то полупрямые a и c тоже одинаково направлены (рис. 203).
Действительно, пусть параллельный перенос, задаваемый формулами x’ = x + m, y’ = y + n, (*) переводит полупрямую a в полупрямую b, а параллельный перенос, задаваемый формулами x» = x’ + m1, y» = y’ + n1, (**) переводит полупрямую b в полупрямую c. Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами x» = x + m + m1, y» = y + n + n1. (***) Утверждаем, что этот параллельный перенос переводит полупрямую a в полупрямую c. Докажем это. Пусть (x; y) — произвольная точка полупрямой a. Согласно формулам (*) точка (x + m; y + n) принадлежит полупрямой b. Так как точка (x + m; y + n) принадлежит полупрямой b, то согласно формулам (***) точка (x + m + m1; y + n + n1) принадлежит полупрямой c. Таким образом, параллельный перенос, задаваемый формулами (***), переводит полупрямую a в полупрямую c. А это значит, что полупрямые a и c одинаково направлены, что и требовалось доказать.
Вопрос 21. Какие полупрямые называются противоположно направленными?
Ответ. Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой (рис. 204).
Вопрос 22. Какие фигуры называются равными? Ответ. Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.
Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 4
1.Декартовы координаты в пространстве. 2.Расстояние между двумя точками. 3.Преобразование симметрии в пространстве. 4.Движение в пространстве. 5.Угол между прямой и плоскостью. 6.Угол между плоскостями. 7.Векторы в пространстве. 8.Площадь ортогональной проекции многоугольника. 9.Примеры.
1. Декартовы координаты в пространстве
Пусть заданы три взаимно перпендикулярные прямы x,y,z (Рис.1). Если провести через каждую пару прямых плоскость, то получим три взаимно перпендикулярные плоскости xy,xz,yz. Тогда прямые x,y,z будут называться осями координат, а точка пересечения О началом координат. Каждую ось точка О разбивает на две полуоси: положительную и отрицательную.
Возьмем теперь произвольную точку, например точку А. Тогда для того, чтобы определить координаты точки А, необходимо провести три плоскости, проходящие через точку А и параллельные плоскостям XY, XZ, YZ. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат Аx, Ay, Az и будут являться координатами точки А, которые записываются так: А (Ax, Ay, Az).
Рис. 1 Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками
Пусть задана декартова система координат с осями X, Y, Z (Рис.2). Необходимо найти расстояние между двумя точками А (x1;y1;z1) и В (x2;y2;z2).
Проведем два перпендикуляра от точек А и В на плоскость XY. Они пересекут плоскость XY в точках A’ и B’. Теперь проведем плоскость через точку А и параллельную плоскости XY. Тогда расстояние между точками по теореме Пифагора будет равно:
Таким образом, расстояние между двумя точками вычисляется по следующей формуле:
Рис.2 Расстояние между двумя точками
3. Преобразование симметрии в пространстве
Преобразование фигур в пространстве определяется таким же образом, как и преобразование фигур на плоскости (Рис.3). Помимо преобразования относительно точки и преобразования относительно прямой, в пространстве рассматривают преобразование относительно плоскости.
Пусть в пространстве задана плоскость α. В не этой плоскости задан квадрат со сторонами АВСD. Каждую точку нашей фигуры проецируем на плоскость α. А затем откладываем такое же расстояние по другую стороны плоскости и получаем преобразованную фигуру A»B»C»D». Таким образом, точки A»B»C»D» симметричны точкам ABCD относительно плоскости так же, как и все точки квадрата ABCD. Такое преобразование называется преобразованием относительно плоскости. А плоскость называется плоскостью симметрии. Если точка принадлежит плоскости α, то она переходит в саму себя.
Рис. 3 Преобразование симметрии в пространстве.
4. Движение в пространстве
Движение в пространстве определяется таким же образом, как и на плоскости. При движении в пространстве сохраняются расстояния между точками. И так же, как и на плоскости, прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, углы между полупрямыми сохраняются. Новым свойством, которым обладает движение в пространстве, являются то, что при движении плоскость переходит в плоскость.
Пусть задана плоскость α. Отметим на ней точки А,В,С не лежащие на одной прямой и построим на них треугольник (Рис.4). При движении эти точки передут в точки A’, B’, C’ также не лежащие на одной прямой. Проведем на плоскости α прямую, перескающую треугольник в точках X и Y и отметим на ней точку Z. При движении точки X и Y передут в точки X’ и Y’, прямая а передет в прямую a’. Следовательно она будет принадлежать плоскости α’. Таким образом, плоскость α переходит в плоскость α’. При движении фигур в пространстве, две фигуры называются равными, если они переходят сами в себя, т.е. совмещаются.
Рис. 4 Движение в пространстве.
Параллельный перенос
Парралельный перенос в пространстве задается формулами:
x’ = x + a y’ = y + b z’ = z + c
Подобие пространственных фигур
Преобразование подобия фигур в пространстве (гомотетия) определяется таким же образом, как и на плоскости. (Рис. 4.1)
При преобразования подобия расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Прямые переходят в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Углы между полупрямыми сохраняются. При преобразовании подобия плоскость, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную плоскость. Так же, как и на плоскости преобразование подобия с коэффициентом гомотетии k переводит точки A и B в точки A’ и B’, отрезок АВ в отрезок A’B’ = k AB.
Рис. 4.1 Подобие пространственных фигур.
5. Угол между прямой и плоскостью
Пусть задана плоскость α. Прямая с пересекает плоскость α в точке А (Рис.5). Точка А лежит на прямой c’. Прямая c’ называется проекцией прямой с на плоскость α. Таким образом, углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Т.е. угол между прямой с и c’.
Рис. 5 Угол между прямой и плоскостью.
6. Угол между плоскостями
Пусть заданы две пересекающиеся плоскости α и β (Рис.6). Проведем плоскость γ, которая перпендикулярна их прямой пересечения с. Плоскость γ пересекает данные плоскости по прямым а и b. Угол между прямыми а и b и есть угол между данными плоскостями α и β.
Возьмем другую секущую плоскость γ’, которая параллельна γ и перпендикулярна прямой с. Она пересечет плоскости α и β по прямым a’ и b’. Если мы выполним параллельный перенос плоскости γ вдоль прямой с, то т.к. прямые а и a’ находятся в одной плоскости α и перпендикулярны прямой с, следовательно они совпадут. Таким образом, угол между плоскостями не зависит от секущей плоскости.
Рис. 6 Угол между плоскостями.
7. Векторы в пространстве
Действия над векторами
Действия над векторами в пространстве определяются так же, как и на плоскости.
Рис. 7 Векторы в пространстве.
8. Площадь ортогональной проекции многоугольника
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции.
Если геометрическая фигура представляет собой многоугольник, то площадь ортогональной проекции можно найти, разбив его на простые треугольники, в которых хотя бы одна сторона будет параллельна плоскости проекции.
Рис. 8 Площадь ортогональной проекции многоугольника.
9. Пример 1
Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.
Доказательство:
Пусть дана плоскость α. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b. Они пересекаются в точке О (Рис.9). Доказать, что при движении плоскость α переходит в плоскость α’.
Подвергнем две прямые а и b движению.Тогда они перейдут в прямые a’ и b’ с точкой пересечения O’. Угол ϕ между ними сохранится. Проведем через прямые a’ и b’ плоскость α’.
Если в плоскости α провести прямую с, то она пересечет прямые а и b в точках А и В. При движении прямая с перейдет в прямую с’. А точки А и В перейдут в точки A’ и B’.
Таким образом, две точки A’ и B’ принадлежат плоскости α’, так как прямая с’ пересекает прямые а’ и b’ в этих точках. А следовательно и вся прямая c’, т.е. все ее точки, принадлежат плоскости α’. Отсюда следует, что плоскость α переходит в плоскость α’.
Рис.9 Задача. Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.
Пример 2
В плоскости xy найдите точку D (x; y; 0), равноудаленную от трех данных точек: А (1; 1; 1), В (1; 2; 2), С (2; 0; 1).
Решение:
Так как расстояние от точки D до точек А, В и С одинаковое, то можно составить следующие соотношения:
Приравняем первое и второе уравнения:
Теперь приравняем второе и третье уравнения:
Подставляя y = 3, получим х = 4 и D (4;3;0).
Рис.10 Задача. В плоскости xy найдите точку D (x; y; 0).
Пример 3
Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом, если: А (0; 2; 1), В (1; 1; 1), С (2; 2; 3), D (1; 3; 3).
Решение:
По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются в точке, которая делит их пополам. Следовательно, можно найти середины отрезков АС и BD:
Так как координаты середин отрезков АС и BD совпадают, то АВСD является параллелограммом (Рис. 11).
Рис.11 Задача. Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом.
Пример 4
Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4 м, проведены две наклонные, которые пересекают плоскость в точках А и В. Они образуют с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние АВ между точками пересечения наклонных с плоскостью.
Решение:
Из прямоугольного треугольника СОВ (Рис.12) найдем СВ:
СВ = СО / sin 30° = 4 / 1 / 2 = 8 м.
Из прямоугольного треугольника СОА найдем СА:
АС = СО / sin 45° = 4 / 1 / = 4 м.
Теперь из прямоугольного треугольника АВС найдем АВ:
АВ 2 = 8 2 + (4) 2
АВ = 4 м.
Рис.12 Задача. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4 м.
Пример 5
Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.
Решение:
Из прямоугольного треугольника АВО найдем ВО (Рис.13):
ВО = АВ sin 45° = АВ /
Из прямоугольного треугольника АВС найдем ВС:
ВС 2 = AB 2 + AC 2 = 2 AB 2 (т.к. АВ = АС по условию задачи)
ВС = AB
Теперь из прямоугольного треугольника ВОС найдем синус угла ВСО:
sin ∠BCO = BO / BC = АВ / / AB = 1/2
Отсюда следует, что ∠ ВСО = 30°.
Рис.13 Задача. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника.
= 4 
м.
