Градиент это что математика
Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры
Понятие производной по направлению
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.
Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:
Величину отрезка MM 1 можно обозначить 
.
Функция u = f(M) при этом получит приращение
.
Определение производной по направлению. Предел отношения 
при 
, если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается 
, то есть
.
Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:
.
Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.
Примеры нахождения производной по направлению
Пример 1. Найти производную функции 
в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора 
.
Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
Пример 3. Найти производную функции 
в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора 
.
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
.
Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных 
, 
, 
этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Для градиента функции двух переменных формула короче:
.
Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:
.