дипольный момент шара в однородном поле

Шар в однородном поле

Посмотрим, какие изменения внесет проводящий шар, помещенный в однородное электрическое поле. Данная задача весьма популярна, известно несколько принципиально различных методов ее решения. Мы же воспользуемся уже полученными нами результатами. Поместим шар посредине между двумя одинаковыми по величине, но противоположными по знаку точечными зарядами и . Обозначим расстояния от зарядов до центра шара (рис.24).

. (29)

При увеличении расстояния между зарядами поле в области шара становится практически однородным с напряженностью

. (30)

Выразим индуцированный дипольный момент шара через напряженность поля

, (31)

как видите этот дипольный момент не зависит от «придуманных» зарядов и расстояния , поэтому и в однородном поле шар будет иметь такой же дипольный момент. Таким образом, поле индуцированных на поверхности шара зарядов эквивалентно полю точечного диполя (31), находящегося в центре шара. Ну а поле диполя мы уже рассчитывали, поэтому приводим результат расчета силовых линий суммарного поля: исходного однородного и индуцированного (рис.25). Неплохо также смотрится и распределение потенциала (рис.26).

Замечу, что потенциал однородного поля изменяется по линейному закону, поэтому распределение потенциала в таком поле изображается наклонной плоскостью. При помещении в это поле проводящего шара на наклонной плоскости появляется горизонтальная площадка, соответствующая условию постоянства потенциала на проводнике.

Задание для самостоятельной работы.

1. Постройте силовые линии электрического поля, если в изначально однородное поле помещен шар, изготовленный из диэлектрика с проницаемостью . Внимательно, посмотрите на наш переход от проводящей плоскости к полупространству, заполненному диэлектриком.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Дипольный момент шара в однородном поле

Рассмотрим систему произвольного числа зарядов, притом такую, что суммарный алгебраический заряд её равен нулю `sum_iq_i=0`. Пусть система состоит из `N` точечных зарядов произвольной величины `q_i(i=1,2,3. N)` и пусть в некоторой системе координат каждый из зарядов характеризуется своим радиус-вектором `vecr_i`. По определению электрическим дипольным моментом системы называют вектор

В отсутствие внешнего электрического поля даже вещества с полярными молекулами, как правило, никак себя электрически не проявляют. Это связано с тем, что диполи различных молекул в них направлены совершенно хаотически и, «действуя не согласованно», не создают никакого суммарного макроскопического электрического поля.

Простое ослабление внешнего поля в диэлектрике в `epsilon` раз относится лишь к простейшей геометрии опыта, когда внешнее электрическое поле перпендикулярно поверхности диэлектрика. Рассмотрение случаев, когда поле направлено под другими углами к поверхности, выходит за рамки настоящего Задания.

Какие порядки величин `epsilon` встречаются? Для воздуха (и вообще, для газов, т. е. довольно разреженных систем с неполярными молекулами) эта величина лишь ненамного превосходит единицу: `epsilon

1,00058`. А вот для воды эта величина значительно больше: `epsilon

81`. Последнее связано с тем, что, во-первых, молекулы воды `»H»_2″O»` суть полярные молекулы (электроны в них смещены от атомов водорода к атому кислороду), а во-вторых, концентрация молекул в воде значительно больше, чем в воздухе.

Заряды `+q,+q,-q` и `-q` расположены последовательно в вершинах квадрата, если обходить его по часовой стрелке. Сторона квадрата равна `l`. Определить дипольный момент системы.

Рассмотрим две пары разноимённо заряженных зарядов (рис. 16). В каждой паре дипольный момент будет равен по модулю величине `ql`, и для разных пар дипольные моменты направлены в одну и ту же сторону, поэтому их сумма равна `2ql`.

Металлический шар радиусом `R` с зарядом `Q` находится в среде с диэлектрической проницаемостью `epsilon`. Определить суммарный заряд `Q^’` связанных зарядов на поверхности шара.

Ослабление в `epsilon` раз поля шара с зарядом `Q` обусловлено тем, что не его поверхности появляется заряд `Q^’`: `1/(epsilon) Q/(4pi epsilon_0r^2)=(Q+Q^’)/(4pi epsilon_0r^2)`, откуда `Q^’=-(epsilon-1)/(epsilon)Q`.

Источник

ЛЕКЦИЯ №12

1. Силы, действующие на заряженную поверхность.

(12.1)

где — напряженность поля на поверхности без учета собственного поля этих свободных зарядов, так как заряд не может действовать сам на себя (только барон Мюнхгаузен мог вытащить сам себя за волосы из болота). Поля по обе стороны от границы очевидно равны

, , следовательно, .

Ранее (лк.№5 п.9) отмечалось, что поля заряженной плоскости по обе стороны равны по модулю и противоположны по направлению. Тогда

и сила равна

Из последней формулы и граничного условия (11.30) следует

(12.7)

Пусть есть две очень большие равномерно заряженные пластины. Ранее отмечалось, что поле между ними однородно, а снаружи поля нет. Если эту систему рассмотреть как одну пластину в поле другой (рис.12.1а), то

Если же между ними диэлектрик (рис.12.1б), то можно поступить аналогично, а можно применить формулу (12.7), например, для левой пластины

то есть сила уменьшилась в e раз.

Заметим, что если между пластинами и средой есть хотя бы маленький зазор, то диэлектрик на них уже не действует и сила остается прежней (рис.12.1в).

Последний интеграл достаточно простой. После вычислений получаем

(12.12)

Сравните это результат с силой, действующей на заряд со стороны стенки (10.4) и убедитесь в справедливости третьего закона Ньютона.

Легко понять, что если в электростатическое поле поместить объемный проводник, то на его поверхность будет действовать сила

(12.13)

2. Поляризованный шар.

Поляризованный шар можно представить себе как два разноименных однородно заряженных (не диэлектрических!) шара, центры которых смещены на небольшое расстояние l.

Поле шара внутри шара мы знаем (5.14). Тогда в произвольной точке внутри шара

(12.16)

то есть собственное поле внутри шара однородно. Снаружи ситуация еще проще. Так как поле шара вне шара совпадает с полем точечного заряда, то получается поле диполя

(12.17)

нужно только, чтобы R>>l. Поле (линии напряженности) поляризованного шара показано на рис.12.4.

В верхней точке шара внешнее поле направлено вверх и равно

Оно в 2 раза больше внутреннего поля, направленного вниз.

3. Поляризованный шар в однородном поле.

Пусть в однородное поле с напряженностью поместили диэлектрический шар. Тогда его поляризованность в соответствии с (11.17)

, где — результирующее поле внутри диэлектрика, которое в свою очередь равно (см. формулу (12.16)).

Отсюда сразу же получаем напряженность

,

а также поляризованность

и дипольный момент всего шара

(12.23)

Линии напряженности внутреннего и внешнего поля показаны на рис.12.5.

Для вычисления поля снаружи нужно сложить внешнее поле и поле диполя (12.17). Так для верхней точки шара имеем

тогда отношение результирующих полей внутри и снаружи

что совпадает с граничными условиями (11.30).

rem: В ряде случаев можно считать, что для проводника диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности. Это и понятно, так как на любой заряд внутри проводника не действует сила.

Если изучать рассмотренные выше формулы с этой точки зрения, то можно лишний раз убедиться, что внутри проводника поле равно нулю.

4. Диэлектрический шар в неоднородном поле.

Пусть имеется маленький диэлектрический шар в исходно неоднородном поле . Неоднородность его такова, что вблизи шара поле можно считать однородным. Тогда в соответствии с (8.19) и (12.23)

Используя формулу векторного анализа (8.20) имеем

(12.27)

То есть сила направлена в сторону возрастания поля. Если шар проводящий, то

(12.28)

Этими формулами объясняется явление, с которого обычно начинают изучение электричества: мелкие незаряженные предметы притягиваются к заряженному телу.

Если исходное поле было создано точечным зарядом, напряженность которого хорошо известна (4.10), то

(12.29)

то есть шарик притягивается к заряду с силой обратно пропорциональной пятой степени расстояния.

5. Точечный заряд и проводящая сфера.

Еще раз вернемся к задаче о взаимодействии точечного заряда и нейтральной сферы. Если вы внимательно прочитали лк. №10 п.2, то без труда можете рассчитать силу, с которой сфера действует на заряд

или ,

где . Если |m|

что в точности совпадает с (12.29).

Попробуем вычислить силу, действующую на эту сферу, воспользовавшись (12.13). Для этого сначала найдем напряженность поля в каждой точке сферы. Исходя из рис.12.6, получаем

или ,

где 0

можно построить график зависимости поверхностной плотности заряда от угла (рис.12.7). Видно, что сфера заряжена неравномерно. Напротив точечного заряда поверхностная плотность противоположна по знаку и максимальна по модулю. Интегрированием по поверхности сферы можно убедиться, что суммарный заряд на ней равен 0, как и предполагалось.

Используя (12.13) можно убедиться, что сила получается той же самой. Если представить эту сферу собранной из 2 половинок, то можно рассчитать силу, действующую на каждую половинку, и тем самым определить, какие силы стремятся растянуть эту сферу.

6. Точечный заряд и плоский диэлектрик.

Для решения этой задачи предоставим слово Д.В. Сивухину (§24). Пусть два однородных изотропных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями e ₁ и e ₂ граничат друг с другом вдоль плоскости. В первом диэлектрике есть точечный заряд q. Поле в обеих областях складывается из поля этого заряда и поляризационных зарядов на границе раздела. Введем предположение, что поле поляризационных зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю какого-то заряда q₁ зеркально расположенного относительно границы раздела (рис.12.8).

Тогда для поля в первом диэлектрике можно написать

Введем еще одно предположение, что поле во втором диэлектрике образовано еще одним фиктивным зарядом q₂, расположенным там же где и исходный заряд.

Справедливость предположений будет доказана дальнейшими вычислениями.

Теперь на границе поля надо «сшить».

и

Из последних уравнений и находим необходимые заряды.

Окончательно получаем следующие выражения для полей.

и

Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи и, по теореме единственности других решений быть не может. Если считать диэлектрическую проницаемость второй среды очень большой (проводник), то получаем поле точечного заряда около проводящей плоскости (см. лк. №10 п.1).

Легко рассчитать силу, действующую на заряд со стороны диэлектрика, как силу между зарядами q и q₁

(12.43)

Заряд может, как притягиваться, так и отталкиваться. Все зависит от того, в какой среде проницаемость больше. Это более общее выражение, чем (10.4)

7. Объемные силы в диэлектрике.

Рассмотрим теперь силы, которые возникают даже в отсутствии свободных зарядов. В «толстых» книжках (Сивухин §34 или Матвеев А.Н. «Электродинамика», §24) доказывается формула для силы, действующей на бесконечно малый объем диэлектрика

(12.46)

Данная сила получила название пондеромоторной.

def:Пондеромоторными называют силы, действующие на весомые тела.

Этот термин был введен тогда, когда признавалось существование невесомых субстанций (эфир, теплород и т.д.).

Рассмотрим в качестве примера силы, действующие на диэлектрический шар в однородном поле (рис.12.9).

Из второго слагаемого очевидно, что пондеромоторная сила направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью. Для непосредственного применения формулы (12.46) необходимо допустить, что переход от внешней относительно шара области с диэлектрической проницаемостью e ₂ к внутренней с диэлектрической проницаемостью e ₁ происходит не скачком на поверхности шара, а непрерывно в некотором сферическом слое. В этом случае напряженность изменяется непрерывно от ее значения вне шара до значения внутри шара. В каждой точке шарового слоя для вычисления силы можно использовать формулу (12.46).

В случае e ₁> e ₂ поле внутри шара меньше, чем вне шара. Поэтому сила стремится разорвать шар, однако полная равнодействующая всех сил равна нулю и шар, как целое, остается в покое.

При e ₁ e ₂ силы в переходном сферическом слое направлены внутрь шара и их равнодействующие по разные стороны шара стремятся сжать его по линии внешнего поля. Полная сила, действующая на шар, как и в предыдущем случае, равна нулю.

Если же внешнее поле неоднородно, то полная сила, действующая на шар, не равна нулю (рис.12.10). С помощью аналогичных рассуждений заключаем, что при e ₁> e ₂ полная действующая на шар сила направлена в сторону возрастания поля в среде.

Если же e ₁ e ₂, то действующая на диэлектрический шар сила направлена противоположно, то есть в сторону уменьшения поля в среде. Поэтому в среде с достаточно большой диэлектрической проницаемостью, например в керосине, диэлектрические предметы отталкиваются от наэлектризованных тел.

(12.47)

Очевидно, что . Тогда второе слагаемое из (12.46) и первое из (12.47) сокращаются и остается (без первого и четвертого слагаемых)

(12.49)

Из этой формулы видно, что направление силы, действующей на диэлектрик, не зависит от направления поля, она всегда направлена в сторону максимального возрастания напряженности электрического поля. Это означает, что диэлектрик увлекается в область наибольшей напряженности электростатического поля.

Происхождение силы (12.49) можно пояснить по-другому. Согласно (8.19), (8.20) и (11.17)

В частности на пластину диэлектрика на рис.12.1в в целом сила не действует. Но на каждую сторону действует растягивающая сила.

По тем же причинам диэлектрик может втягиваться между заряженными пластинами (рис.12.11). Сверху поле больше, чем в самом диэлектрике. Такую задачу решить с точки зрения сил очень сложно. Мы вернемся к ней при изучении энергетических соотношений (см. лк.№16 п.11).

Источник

Диэлектрический шар во внешнем однородном поле

Будем рассматривать решение поставленной задачи как основу некоторой физической теории плотных сред.

Проинтегрируем уравнения Лапласа

для области, изображенной на Рис. 3.

Учтем граничные условия на поверхности шара

Используем, как и в аналогичной задаче электростатике проводников (смотреть §9), условие азимутальной симметрии шаровых функций

По этим же причинам сразу ищем решение в виде

В принципе изучается не одно,

а два уравнения Лапласа для сред 1 и 2.

Для каждой из сред решение ищем в виде

Формальные операции, которые необходимо проделать с уравнениями Лапласа здесь те же, что и в §9 «Электродинамика проводников». Разница двух задач проявится лишь в граничных условиях. Решая в каждой из сред уравнения Лапласа для потенциала и, вводим для констант индексы 1 или 2 принадлежности к соответствующей среде. После этого проделываем аналогично §9 всю формальную операцию построения общего решения.

Выпишем явно радиальные части построенных решений

(решение вне шара) (18)

Итого вне шара разложение потенциала в ряд по степеням должно иметь вид:

Аналогично построим решение внутри шара. С учетом его электронейтральности получаем следующее разложение:

Осталось использовать граничные условия для нахождения связи между коэффициентами

Приравняем члены при одинаковых независимых линейно шаровые функциях

Казалось бы, два другие уравнения есть два уравнения для трех неизвестных диэлектрический прокладка упорядочение шар

Откуда следует, что

то есть найден один из искомых коэффициентов. Подставим (26) в оставшиеся два уравнения систем (23), (24) и получим

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, получаем

Итак, поле до помещения в него диэлектрического шара имело вид:

Конечное же поле, искаженное диэлектрическим шаром есть

Замечаем, что поле вне шара вновь приобрело дипольный момент

То есть поле вне шара складываются из исходного однородного поля и поля электрического диполя.

Поляризуемость среды в этом случае есть

Итак, во внешних полях проводник и диэлектрик приобретает сходные свойства.

Источник