Что включает в себя школьный предмет алгебра

Что включает в себя школьный предмет алгебра

(остальные материалы готовятся к публикации)

Глава 3. Алгебра 8 класс

(остальные материалы готовятся к публикации)

Глава 4. Алгебра 9 класс

(остальные материалы готовятся к публикации)

Глава 5. Материалы для подготовки к ОГЭ

Глава 6. Алгоритмы решения задач по алгебре

Электронные формы учебников для 6-9 классов (ссылки):

Алгебра (от араб. الْجَبْر‎, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебpа» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгeбра как раздел математики традиционно включает следующие категории: Элементарная, Общая, Универсальная, Линейная (включая матрицы) и Алгебраическая комбинаторика.

Элементарная алгебpа, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгeбpа содержит правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием aлгебра.

Источники идей и цитат для конспектов по Алгебре:

(с) Цитаты из вышеуказанных учебных пособий использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ).

Источник

Алгебра

А́лгебра (от араб. الجبر ‎‎, «аль-джабр» — восполнение [1] ) — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма.

Алгебраическая система — упорядоченная пара множеств . Первое множество () — элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество () — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле.

Содержание

История

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Ещё 4000 лет назад вавилонские учёные могли решать квадратные уравнения. Тогда никаких обозначений не было, и уравнения записывались в словесной форме. Первые обозначения появились в Древней Греции благодаря учёному Диофанту. Неизвестное число он назвал «ἀριθμός», вторую степень неизвестного — «δύναμις», третью «κύβος», четвёртую — «дюнамодюнамис», пятую — «дюнамокюбос», шестую — «кюбоккюбос». Все эти величины он обозначал сокращениями (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Ни вавилоняне, ни греки не знали и не признавали отрицательные числа.

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В 13 веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя. [2]

В 12 веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространения получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Классификация

Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:

В некоторых напралениях углублённого изучения, аксиоматические алгебраические системы, такие как группы, кольца, поля и алгебры над полем на присутствие геометрических структур (метрик и топологий), совместимых с алгебраическими структурами. Список некоторых разделов функционального анализа:

Элементарная алгебра

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a,b,c,x,y и так далее). Такой подход полезен, потому что:

Источник

А́ЛГЕБРА

Том 1. Москва, 2005, стр. 415

Скопировать библиографическую ссылку:

А́ЛГЕБРА [ср.-век. лат. al­geb­ra, от араб. аль-джебр, аль-джабр – вос­со­е­ди­не­ние (от­дель­ных ча­стей урав­не­ния)], раз­дел ма­те­ма­ти­ки, при­над­ле­жа­щий, на­ря­ду с ариф­ме­ти­кой и гео­мет­ри­ей, к чис­лу ста­рей­ших вет­вей этой нау­ки; она изу­ча­ет опе­ра­ции над ма­те­ма­тич. объ­ек­та­ми и влия­ет на фор­ми­ро­ва­ние об­щих по­нятий и ме­то­дов ма­те­ма­ти­ки. За­да­чи и ме­то­ды А. за­клю­ча­лись пер­во­на­чаль­но в со­став­ле­нии и ре­ше­нии урав­не­ний. В свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми урав­не­ний раз­ви­ва­лось по­ня­тие чис­ла, бы­ли вве­де­ны от­ри­ца­тель­ные, ра­ци­о­наль­ные, ир­ра­цио­наль­ные и ком­плекс­ные чис­ла; об­щее ис­сле­до­ва­ние свойств этих чи­сло­вых сис­тем от­но­сит­ся к А. В ал­геб­ре сфор­ми­ро­ва­лись бу­к­вен­ные обо­зна­че­ния, по­зво­лив­шие за­пи­сать свой­ст­ва дей­ст­вий над чис­ла­ми в фор­ме, не со­дер­жа­щей кон­крет­ных чи­сел. Пре­об­ра­зо­ва­ния по оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам (свя­зан­ным со свой­ст­ва­ми дей­ст­вий) бу­к­вен­ных вы­ра­же­ний со­став­ля­ет ап­па­рат клас­сич. А. Раз­ви­тие А. ока­за­ло боль­шое влия­ние на раз­ви­тие но­вых об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти ма­те­ма­тич. ана­ли­за, диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. При­ме­не­ние А. воз­мож­но всю­ду, где при­хо­дит­ся иметь де­ло с опе­ра­ция­ми, ана­ло­гич­ны­ми сло­же­нию и ум­но­же­нию чи­сел. Эти опе­ра­ции мо­гут про­из­во­дить­ся над объ­ек­та­ми са­мой раз­лич­ной при­ро­ды. Наи­бо­лее из­вест­ным при­ме­ром та­ко­го рас­ши­рен­но­го при­ме­не­ния ал­геб­ра­ич. ме­то­дов яв­ля­ет­ся век­тор­ная ал­геб­ра (см. Ли­ней­ная ал­геб­ра ) и её даль­ней­шее обоб­ще­ние – тен­зор­ная ал­геб­ра (см. Тен­зор­ное ис­чис­ле­ние ), став­шая од­ним из важ­ных средств совр. фи­зи­ки.

Источник

Класс: 7

Презентация к уроку

Ход урока

Мы с вами уже полугодие изучаем новый предмет – алгебра, но я не случайно не отвечала вам подробно на вопрос – Что же такое алгебра? Что она изучает? А делала я это потому, что вы были еще не готовы, не хватало ваших знаний. Сегодня этот момент наступил. На уроке мы постараемся разобраться что изучает алгебра, что лежит в ее основе, заглянем в историю создания предмета.

Откройте тетради, запишите число и тему:

Что изучает алгебра? (слайд №1)

С чего начнем? Наверное, с названия (слайд №2)

По многим названиям предметов сразу становиться ясно, чем занимается данная наука.

А слово “Алгебра” или “Аль-джебр” в переводе с арабского означает

Стало понятно чем занимается алгебра?

Наверное, наоборот, вводит в замешательство.

Вот так и в древней Испании, которая долгое время была под арабским владычеством и, слыша слово “алгебраист” решили, что это слово относится к костоправам или по нашему к хирургам и это недоразумение вошло в книгу

Сервантеса “Дон Кихот” там есть такой фрагмент, когда главный герой Дон Кихот был ранен в одном из поединков, то он просит своего верного друга Санчо Панса привести к нему срочно алгебриста.

Кто-то из вас уже читал или смотрел фильм по этой книге?

Т.е. перевод названия нашего предмета ничего не прояснил.

Что ж, пойдем другим путем.

Посмотрим, что же лежит в основе алгебры? Или другими словами, на чем стоит этот предмет? …

А стоит он на четырех больших китах. (слайд №4)

Давайте познакомимся с этими китами поближе. (Слайд №5)

у= 4х – 6 у = – 5х + 0,3 у = 6,5х

F(х)= 4х 3 +3х у = 6,5х 2

у= 7 – 3х+ ln у = х 3 f(х) = х 2 +х-4

y = sin3x

На этом слайде вы видите надписи. Что это? (Функции)

Запишите в тетрадь. Это кит-функция. (Слайд №6)

– Какими способами можно задать функцию?

– С какими функциями мы уже знакомы?

Это огромный раздел нашего предмета Алгебры.

А сейчас задание по вариантам от первого кита-функции (слайд №7)

Самостоятельная работа на 5 минут в тетради. Затем проверить (слайд №8) и (слайд №9) причем, ответы с ошибками. Должны заметить, что в 1 варианте не подписаны оси координат, а во 2 вар. не подписаны графики и ошибки исправить по щелчку мышкой

Мы познакомились с китом – Функция (слайд №10)

А что вы видите на спине второго кита? (слайд №11)

3х = 9; 5(х+10) = 2х-5; а – 2,4 = 0,2а-5

Sin 2 2x – 3cos2x = 0

Конечно, это уравнения. Только некоторые из них нам хорошо знакомы, а с остальными нам предстоит знакомство на протяжении учебы. Запишите в тетрадь кит-уравнение. (слайд №12)

– Что такое уравнение?

– Что значит решить уравнение?

Оказывается, благодаря решению уравнений, мы получили название нашего предмета – алгебра.

(слайд №13) Впервые это слово прозвучало в книге ученого 1 века нашей эры Мухаммед Бен Мусса Аль-Хорезми (787 – около 850)

Откройте ваши учебники на стр. 16.

(Алгебра 7 класс под редакцией С.А. Теляковского)

Название у нее было очень странное (слайд №14)

“Краткая книга об исчислении аль-джабры и аль-мукабалы”

В ней рассказывалось о том, как решаются уравнения. Причем этими правилами мы пользуемся и теперь

Слово “аль-джабра” видимо понравилось ученым и оно дало название нашему предмету

Задание от этого кита (слайд №15)

(Самостоятельно 5 минут. Проверить ответы по щелчку)

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:1 вариант;

1) 2у(3у – 7) – (7 – 3у) = 0;

2) ;2 вариант

1) 7х(8х – 3) – (3 – 8х) = 0

2)

(слайд №16) Посмотрите на третьего кита.

Что вы видите на его спине (слайд №17)

Значит третий кит называется Тождество. Запишите в тетрадь.

– А что такое тождество?

Кит Тождество приготовил работу на желтым карточках

Задание от кита “Тождество”

Выполните тождественные преобразования и упростите выражение:

Задание от кита “Тождество”

Выполните тождественные преобразования и упростите выражение:

2) (1-2а)(14-а)+а(а 2 +51)-2(а 2 +21)

Задание от кита “Тождество”

Выполните тождественные преобразования и упростите выражение:

Задание от кита “Тождество”

Выполните тождественные преобразования и упростите выражение:

Мы познакомились с тремя китами. (Слайд №20) С тремя основными разделами алгебры, а это самый старый и уважаемый. Без него не могут обходиться другие киты никак. Это кит – … (число) (слайд №21)

Задание от кита “ЧИСЛО”

Выполните действия в 2-х примерах:

Задание от кита “ЧИСЛО”

Выполните действия в 2-х примерах:

От него вам задание на оранжевой карточке (слайд №22), но коль это уважаемый кит и его решение не терпит суеты – выполните его дома, а завтра на уроке мы проверим, кроме этого (слайд №23) на домашнее задание пойдут следующие номера: №241, №366, №778.

А сейчас посчитайте сколько плюсов вы заработали

– Сколько плюсов-такая и оценка за работу на уроке. (слайд №24)

Подведение итогов. Выставление оценок за урок.

Для следующего урока. (Слайд №25)

Источник

Предмет математика в школе: понятие, программа по предмету, математические занятия и правила подачи материала

Предмет математики — это все то, что изучает данная наука, выраженное в наиболее общей форме.

Ученые в области данного образования, в основном, занимаются такими инструментами, методами и подходами, которые облегчают обучение в целом. Однако исследования в области математического образования, известные на европейском континенте как дидактика или педагогика математики, сегодня превратились в обширную область изучения со своими собственными концепциями, теориями, методами, национальными и международными организациями, конференциями и литературой.

История

Вам будет интересно: Что такое мшара: толкование

Элементарный предмет математики был частью системы образования в большинстве древних цивилизаций, включая Грецию, Римскую империю, Ведическое общество и, конечно же, Египет. В большинстве случаев формальное образование было доступно только детям мужского пола с довольно высоким статусом или достатком.

В истории предмета математики также было разделение Платоном гуманитарных наук на тривиум и квадривиум. Они включали в себя различные поля арифметики и геометрии. Эта структура была продолжена в строении классического образования, которое было разработано в средневековой Европе. Преподавание геометрии почти повсеместно распространено именно на основе Евклидовых элементов. Ученики таких профессий, как каменщики, торговцы и кредиторы могут рассчитывать на изучение такого практического предмета — математика, так как он непосредственно имеет отношение к их профессии.

Вам будет интересно: «Лудить» — это только о создании посуды?

В эпоху Возрождения академический статус математики снизился, потому что он был тесно связан с торговлей и коммерцией и считался несколько нехристианским. Несмотря на то что ее продолжали преподавать в европейских университетах, ее считали подчиненным изучению естественной, метафизической и моральной философии.

Первая современная арифметическая примерная программа по предмету математика (начиная со сложения, затем вычитания, умножения и деления) возникла в школах Италии в 1300-х годах. Распространяясь вдоль торговых путей, эти методы были разработаны для использования только в торговле. Они контрастировали с платоновской математикой, преподаваемой в университетах, которая была более философской и касалась чисел как концепций, а не методов расчета.

Вам будет интересно: Инновационная деятельность в школе: понятие, новые методы обучения, программы

Они также граничили с теориями, усвоенными учениками-ремесленниками. Их знания были достаточно специфичны для поставленных задач. Например, разделение доски на трети может быть выполнено с помощью куска строки вместо измерения длины и использования арифметической операции деления.

Более поздние времена и современная история

Социальный статус математического образования улучшался к семнадцатому веку, когда в Абердинском университете в 1613 году была создана кафедра предмета. Затем в 1619 году в Оксфордском вузе была открыта геометрия, как преподаваемая дисциплина. А специализированная кафедра была создана Кембриджским университетом в 1662 году. Однако даже примерная программа по предмету математика за пределами вузов была редкостью. Так, например, даже Исаак Ньютон не получал образования в области геометрии и арифметики, пока не поступил в Тринити, колледж в Кембридже, в 1661 году.

К двадцатому веку наука уже была частью основной учебной рабочей программы по предмету математика во всех развитых странах.

В XX веке культурное влияние «электронного века» также повлияло на теорию образования и преподавания. В то время как предыдущий подход был сосредоточен на «работе со специализированными проблемами в арифметике», возникающий структурный тип располагал знаниями, заставлял еще маленьких детей задумываться о теории чисел и их множествах.

Какой предмет математика, цели

В разное время и в различных культурах, и странах перед математическим образованием ставились многочисленные цели. Они включали в себя:

Вам будет интересно: Коллегии Петра 1: список и их функции

Замечательные цели, но так ли много современных школьников говорят: «Мой любимый предмет математика».

Самые популярные методы

Способы, используемые в любом конкретном контексте, в значительной степени определяются целями, которые пытается достичь соответствующая система образования. Методы преподавания математики включают в себя следующее:

Игры могут мотивировать учеников на улучшение навыков, которые обычно заучиваются. В Number Bingo игроки бросают 3 кубика, затем выполняют базовые математические операции над этими числами, чтобы получить новые значения, которое они размещают на доске, пытаясь покрыть 4 квадрата подряд.

Традиционный подход

Постепенное и систематическое руководство через иерархию математических понятий, идей и методов. Начинается с арифметики и сопровождается евклидовой геометрией и элементарной алгеброй, которые преподаются одновременно.

Требует, чтобы учитель был хорошо информирован о примитивной математике, поскольку решения по дидактическим и учебным программам часто диктуются логикой предмета, а не педагогическими соображениями. Другие методы появляются, подчеркивая некоторые аспекты этого подхода.

Различные упражнения для укрепления знаний

Укрепление математических навыков путем выполнения большого количества заданий аналогичного типа, таких как добавление неправильных дробей или решение квадратных уравнений.

Исторический метод: обучение развитию математики в эпохальном, социальном и культурном контексте. Обеспечивает больше человеческого интереса, чем обычный подход.

Мастерство: способ, при котором большинство учащихся должны достичь высокого уровня компетентности, прежде чем прогрессировать.

Новый предмет в современном мире

Метод обучения математике, который фокусируется на абстрактных понятиях, таких как теория множеств, функции и основы, и так далее. Принятый в США, как ответ на вызов раннему советскому техническому превосходству в космосе, он стал оспариваться в конце 1960-х годов. Один из самых влиятельных критиков нового времени был Морис Клайн. Именно его метод был одним из самых популярных пародийных учений Тома Лерера, он говорил:

«. в новом подходе, как вы знаете, важно понять, что вы делаете, а не как получить правильный ответ».

Решение проблем, предмет математика, счет предметов

Культивирование изобретательности, творчества и эвристического мышления путем постановки студентам открытых, необычных, а иногда и нерешенных проблем. Задачи могут варьироваться от простых словесных до международных математических соревнований, таких как, например, Олимпиада. Решение проблем используется в качестве средства для создания новых знаний, как правило, на основе предыдущего понимания студентов.

Среди математических предметов, изучаемых в рамках школьной программы:

Развлекательная математика вводится, как факультатив. Веселые задачи могут мотивировать студентов изучать предмет и увеличивать удовольствие от него.

Основанная на стандартах

Концепция дошкольного математического образования сфокусирована на углублении понимания учащимися различных идей и процедур. Данная концепция формализована Национальным советом учителей, которые создал «Принципы и стандарты» для предмета в школе.

Реляционный подход

Использует классические темы для решения повседневных проблем и связывает эту информацию с текущими событиями. Этот подход фокусируется на многочисленных сферах применения математики и помогает учащимся осмыслить, почему им нужно ее изучать, а также показывает, как использовать полученные ими знания в реальных ситуациях за пределами классной комнаты.

Содержание и возрастные уровни

Различные величины математики преподаются в соответствии с тем, сколько лет человеку. Иногда бывают дети, для которых более сложный уровень предмета можно преподавать уже раннем возрасте, для чего их зачисляют в физико-математическую школу или класс.

Вам будет интересно: Заискивать — это что такое: толкование

Элементарная математика в большинстве стран преподается аналогичным образом, хотя существуют некоторые различия.

Чаще всего алгебра, геометрия и анализ изучаются, как отдельные курсы в разные годы старшей школы. Математика в большинстве других стран интегрирована, и там каждый год изучаются темы из всех ее областей.

В основном учащиеся, изучающие эти научные программы, усваивают дифференциальное исчисление и тригонометрию в возрасте 16–17 лет, а также интегральные и комплексные числа, аналитическую геометрию, экспоненциальные и логарифмические функции, и бесконечные ряды в последний год их средней школы. Вероятность и статистика могут преподаваться также в этот период.

Стандарты

На протяжении большей части истории стандарты математического образования устанавливались на местном уровне отдельными школами или учителями в зависимости от степени успеваемости.

В наше время наблюдается переход к региональным или национальным стандартам, обычно под эгидой более широких школьных предметов математики. В Англии, например, данное образования устанавливается как часть Национальной учебной программы. В то время как Шотландия поддерживает свою собственную систему.

По итогам исследования других ученых, которые обнаружили, основываясь на общенациональные данные, выяснилось, что студенты с более высокими баллами по стандартизированным тестам по математике прошли больше курсов в старшей школе. Это привело к тому, что некоторые страны пересмотрели свою политику в области преподавания данной учебной дисциплины.

Например, углубленное изучение предмета дополнялось при прохождении курса по математике решением задач более низкого уровня, создавая «разбавленный» эффект. Тот же подход применили для классов с обычной школьной программой по математике, «вклинивая» в нее более сложные задачи и понятия. Т

Исследования

Конечно же, на сегодняшний день идеальных и максимально полезных теорий изучения в школе предмета математика еще не существует. Но тем не менее, нельзя отрицать, что есть плодотворные учения для детей.

В последние десятилетия было проведено много исследований, чтобы выяснить, как эти многочисленные теории по внедрению информации могут быть применены к новейшему современному обучению.

Одним из самых сильных исходов и достижений недавних экспериментов и проверок является то, что наиболее значительной особенностью эффективного обучения стало предоставление студентам «возможности учиться». То есть учителя могут определять ожидания, время, виды заданий по предмету математика, вопросы, приемлемые ответы и типы обсуждений, которые будут влиять на возможность процесса внедрения информации.

Это должно включать как эффективность навыков, так и концептуальное понимание. Педагог, как помощник, а не основа. Замечено, что в тех классах, в которых была внедрена данная система, ученики часто говорят: «Мой любимый предмет математика».

Концептуальное понимание

Двумя наиболее важными особенностями обучения в этом направлении является явное внимание к понятиям и предоставление учащимся возможности справляться с важными проблемами и трудными задачами самостоятельно.

Обе эти особенности были подтверждены с помощью широкого спектра исследований. Явное внимание к понятиям предполагает установление связей между фактами, процедурами и идеями (это часто рассматривается, как одна из сильных сторон в преподавании математики в странах Восточной Азии, где учителя, обычно, посвящают около половины своего времени установлению связей. Другой крайностью являются США, где в школьных классах практически нет навязывания).

Эти отношения можно установить посредством объяснения значения процедуры, вопросов, сравнивающих стратегий и решения проблем, замечая, как одна задача является частным случаем другой, напоминая студентам о главном, обсуждая, как взаимодействуют различные уроки и так далее.

Источник